VARIEDADE, INTEGRAL, SUPERFÍCIE, GEOMETRIA CURVA N-DIMENSIONAL GRACELI, ESFERAS E CURVAS DE GRACELI.

definimos a integral de GRACELI de $\phi (x)\,$ como:

\int _{E}\phi (x)d\mu =\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mu (E_{k})\,

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

{R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }

[

{T^{\lambda }}_{\mu \nu }

] [

[

R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.

]

[

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{iklj}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3})

[

{T^{\lambda }}_{\mu \nu }

] [

[

R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.

]

[

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

E RELATIVIDADE GENERALIZADA GRACELI.

definimos a integral de GRACELI de $\phi (x)\,$ como:

\int _{E}\phi (x)d\mu =\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mu (E_{k})\,

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

{R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }

[

{T^{\lambda }}_{\mu \nu }

] [

[

R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.

] [

G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,

]

[

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{iklj}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3})

[

{T^{\lambda }}_{\mu \nu }

] [

[

R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.

] [

G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,

]

[

\lambda

{\mathcal {T}}

\sigma

\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

[x,t] ] =

Equações de campo de Einstein

G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,

definimos a integral de Lesbesgue de $\phi (x)\,$ como:

\int _{E}\phi (x)d\mu =\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mu (E_{k})\,

Em uma variedade riemanniana as geodésicas em torno de um ponto exibem comportamentos atípicos com relação à geometria euclidiana. Por exemplo, em um espaço euclidiano podem ter-se linhas retas paralelas cuja distância se mantem constante, entretanto, em uma variedade riemanniana os feixes de geodésicas tendem a divergir (curvatura negativa) ou a convergir (curvatura positiva), segundo seja a curvatura seccional de tal variedade. Todas as curvaturas podem ser representadas adequadamente pelo tensor de curvatura de Riemann que é definível a partir das derivadas de primeira e segunda ordem do tensor métrico. O tensor de curvatura em termos dos símbolos de Christoffel e usando a convenção de somatório de Einstein que é dada por:

{R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }

Uma relação interessante que torna claro o significado do tensor de curvatura é que se só consideradas coordenadas normais $\scriptstyle \{x^{1},\dots ,x^{n}\}$ centradas em um ponto p no entorno de determinado ponto a métrica de toda variedade riemanniana pode ser escrita como:

g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{iklj}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3})

Pode se ver que se o tensor de Riemann é anulado identicamente então localmente a métrica se aproxima da métrica euclidiana e a geometria localmente é euclidiana. No caso de que o tensor não seja nulo, seus componentes dão uma ideia de quanto se distancia a geometria da variedade riemanniana da geometria de um espaço euclidiano de mesma dimensão.

no qual ${T^{\lambda }}_{\mu \nu }$ é o tensor de torção

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