VARIEDADE, INTEGRAL, SUPERFÍCIE, GEOMETRIA CURVA N-DIMENSIONAL GRACELI, ESFERAS E CURVAS DE GRACELI.




definimos a integral de GRACELI de  como:

[ [ ω   / T] / c [    [x,t] ]  =  








 [ ] [
[
 [ ω   / T] / c [    [x,t] ]  =  










 [ ]  [
[
      [ ω   / T] / c [    [x,t] ]  =  



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E RELATIVIDADE GENERALIZADA GRACELI.





definimos a integral de GRACELI de  como:

[ [ ω   / T] / c [    [x,t] ]  =  








 [ ] [

[] [ ]

 [ ω   / T] / c [    [x,t] ]  =  










 [ ]  [

[] [ ]

      [ ω   / T] / c [    [x,t] ]  =  


















Equações de campo de Einstein








 definimos a integral de Lesbesgue de  como:





Em uma variedade riemanniana as geodésicas em torno de um ponto exibem comportamentos atípicos com relação à geometria euclidiana. Por exemplo, em um espaço euclidiano podem ter-se linhas retas paralelas cuja distância se mantem constante, entretanto, em uma variedade riemanniana os feixes de geodésicas tendem a divergir (curvatura negativa) ou a convergir (curvatura positiva), segundo seja a curvatura seccional de tal variedade. Todas as curvaturas podem ser representadas adequadamente pelo tensor de curvatura de Riemann que é definível a partir das derivadas de primeira e segunda ordem do tensor métrico. O tensor de curvatura em termos dos símbolos de Christoffel e usando a convenção de somatório de Einstein que é dada por:

Uma relação interessante que torna claro o significado do tensor de curvatura é que se só consideradas coordenadas normais  centradas em um ponto p no entorno de determinado ponto a métrica de toda variedade riemanniana pode ser escrita como:

Pode se ver que se o tensor de Riemann é anulado identicamente então localmente a métrica se aproxima da métrica euclidiana e a geometria localmente é euclidiana. No caso de que o tensor não seja nulo, seus componentes dão uma ideia de quanto se distancia a geometria da variedade riemanniana da geometria de um espaço euclidiano de mesma dimensão.




no qual  é o tensor de torção


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